Determinants & Inverse

Faktor Skala dan "Ctrl+Z" Matriks

1. Determinants ($|A|$)

Bayangkan Matriks adalah sebuah "Transformasi" (fungsi yang mengubah ruang). Determinan adalah angka yang menunjukkan seberapa banyak ruang itu membesar atau mengecil setelah transformasi.

Area = 1

Awal

Transformasi $A$

Area = 4

Akhir ($|A|=4$)

Jika $|A| = 1$: Luas/Volume tetap (Rotasi/Shear).
Jika $|A| = 2$: Luas jadi 2x lipat.
Jika $|A| = 0$: Luas jadi 0 (Penyet jadi garis/titik). Informasi Hilang! (Singular).

Rumus (2x2)

$$ \det \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad - bc $$

2. Inverse Matrix ($A^{-1}$)

Inverse matriks adalah kebalikan dari matriks A. Kalau A mengubah $x$ jadi $y$, maka $A^{-1}$ mengembalikan $y$ jadi $x$.
Mirip pembagian di angka biasa ($5 \times \frac{1}{5} = 1$).

$$ A \cdot A^{-1} = I $$

Syarat Inverse Ada

Matriks A punya inverse (Invertible/Non-singular) JIKA DAN HANYA JIKA:

$\det(A) \neq 0$

Kalau $\det(A) = 0$, artinya ruangnya sudah "gepeng" jadi garis. Kita tidak bisa mengembalikan garis jadi kotak karena informasi sudah hilang.

Rumus Inverse (2x2)

$$ A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} $$