Eigenvalues & Eigenvectors

"Vektor Spesial yang Tak Berubah Arah"

1. Apa itu Eigenvector?

Saat terjadi Transformasi Matriks (Rotasi, Scaling, Shear), sebagian besar vektor akan berubah arah (terpental). Tapi ada vektor-vektor spesial yang arahnya tetap sama, hanya panjangnya yang berubah.

  • Eigenvector ($v$): Vektor spesial yang arahnya tidak berubah setelah transformasi.
  • Eigenvalue ($\lambda$): Faktor pengali panjangnya (Scaling factor) untuk eigenvector tersebut.
$$ A \cdot v = \lambda \cdot v $$

"Matriks A dikali vektor v, hasilnya sama dengan skalar $\lambda$ dikali vektor v itu sendiri."

2. Visualisasi

Misal Transformasi $A$ adalah Scaling Horizontal 2x.

Vektor Miring (Bukan Eigen)

Vektor $(1, 1)$ miring 45 derajat.
Dikali 2 di sumbu X jadi $(2, 1)$ miring ~26 derajat.
Arah berubah! Bukan Eigenvector.

Vektor Datar (Eigen)

Vektor $(1, 0)$ datar.
Dikali 2 di sumbu X jadi $(2, 0)$ tetap datar.
Arah TETAP! Ini Eigenvector dengan $\lambda=2$.

3. Diagonalization

Jika kita punya cukup Eigenvector, kita bisa mendekonstruksi sebuah Matriks menjadi bentuk yang sangat rapi.

$$ A = PDP^{-1} $$
  • $P$: Matriks yang isinya kolom-kolom Eigenvector.
  • $D$: Matriks Diagonal yang isinya nilai Eigenvalue ($\lambda$).

Ini sangat berguna untuk menghitung pangkat Matriks ($A^{100}$). Daripada mengalikan A sebanyak 100 kali, kita cukup memangkatkan diagonalnya saja ($\lambda^{100}$), yang jauh lebih mudah.

Aplikasi Paling Populer:
  • PCA (Principal Component Analysis): Menggunakan Eigenvector dari Covariance Matrix untuk mencari "sumbu utama" data (arah variansi terbesar).
  • Google PageRank: Menggunakan Eigenvector untuk meranking website.