🤔 Intuisi Limit
Bayangkan kamu berjalan menuju sebuah tembok. Setiap langkah, kamu melangkah setengah dari jarak yang tersisa.
- Jarak awal: 10 meter.
- Langkah 1: Maju 5m (Sisa 5m).
- Langkah 2: Maju 2.5m (Sisa 2.5m).
- Langkah 3: Maju 1.25m (Sisa 1.25m).
Apakah kamu akan pernah menyentuh tembok itu? Secara matematis, tidak pernah. Kamu akan terus mendekat, mendekat, dan mendekat selamanya. Tapi kita bisa bilang: "Limit jarakmu adalah 0".
Artinya: "Jika $x$ mendekati $c$ (tapi tidak sama dengan $c$), maka $f(x)$ akan mendekati $L$."
📜 Sifat-Sifat Limit
Secara umum, limit itu "sopan". Dia bekerja sesuai insting kita pada operasi matematika biasa.
- $\lim_{x \to c} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to c} f(x) + \lim_{x \to c} g(x)$ (Penjumlahan dipisah)
- $\lim_{x \to c} (k \cdot f(x)) = k \cdot \lim_{x \to c} f(x)$ (Konstanta bisa keluar)
- $\lim_{x \to c} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x)$ (Perkalian dipisah)
- $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to c} f(x)}{\lim_{x \to c} g(x)}$ (Pembagian dipisah, asal penyebut $\neq 0$)
🧮 Contoh Perhitungan Manual
Metode Substitusi (Langsung Masukkan)
Jika fungsinya "aman" (tidak membagi dengan nol), kita tinggal masukkan saja nilai $x$-nya.
Soal: Hitung $\lim_{x \to 2} (3x + 4)$
Metode Pemfaktoran (Jurus Anti 0/0)
Kadang, substitusi langsung menghasilkan $\frac{0}{0}$ (Bentuk Tak Tentu). Ini DILARANG. Kita harus memanipulasi dulu.
Soal: Hitung $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$
Cek Substitusi: $\frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0}$ (Gawat!). Mari kita faktorkan pembilangnya.
(Coret $(x-2)$ di atas dan bawah)
$$ \lim_{x \to 2} (x + 2) $$ $$ = 2 + 2 = 4 $$Analogi AI: Ini mirip seperti Feature Engineering. Data mentah mungkin jelek ($0/0$), tapi jika diolah (faktorkan), polanya terlihat jelas.
âž° Kekontinuan (Continuity)
Sebuah fungsi dikatakan kontinu jika kita bisa menggambar grafiknya tanpa mengangkat pena dari kertas. Dalam AI, ini penting karena kita hanya bisa melakukan Gradient Descent pada fungsi yang mulus dan kontinu (differentiable).