Bab 2: Aljabar Linear

Bahasa Data: Vektor, Matriks, dan Transformasi Linear

Peta Konsep

                            graph LR
                                A[Sistem Persamaan Linear] --> B[Matriks]
                                B --> C[Operasi Matriks]
                                B --> D[Ruang Vektor]
                                D --> E[Basis & Rank]
                                E --> F[Pemetaan Linear]
                                D --> G[Kebebasan Linear]

Konsep geometri dibangun di atas Inner Product.

1. Sistem Persamaan Linear (SPL)

Aljabar linear sering kali dimulai dengan upaya menyelesaikan sistem persamaan linear. Bayangkan sebuah perusahaan yang memproduksi produk $N_1, \dots, N_n$ dengan sumber daya $R_1, \dots, R_m$. Jika kita memproduksi $x_j$ unit dari produk $N_j$, dan setiap produk membutuhkan $a_{ij}$ unit dari sumber daya $R_i$, maka total penggunaan sumber daya harus memenuhi ketersediaan $b_i$:

\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}

Contoh Perhitungan: SPL Sederhana

Diberikan sistem persamaan:

\begin{align*} 4x_1 + 4x_2 &= 5 \\ 2x_1 - 4x_2 &= 1 \end{align*}

Dalam bentuk matriks $\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{b}$:

\begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 2 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

Solusinya dapat ditemukan dengan menjumlahkan kedua persamaan: $6x_1 = 6 \implies x_1 = 1$.
Substitusi ke persamaan pertama: $4(1) + 4x_2 = 5 \implies 4x_2 = 1 \implies x_2 = 0.25$.
Jadi, vektor solusinya adalah $\boldsymbol{x} = [1, 0.25]^\top$.

2. Matriks dan Vektor

Matriks $\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}$ adalah susunan angka persegi panjang. Vektor bisa dianggap sebagai matriks khusus dengan satu kolom ($n=1$).

Operasi Dasar

Penjumlahan Matriks: Dilakukan elemen demi elemen.
Perkalian Matriks:
Jika $\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}$ dan $\boldsymbol{B} \in \mathbb{R}^{n \times k}$, maka $\boldsymbol{C} = \boldsymbol{AB} \in \mathbb{R}^{m \times k}$.
$c_{ij} = \sum_{l=1}^{n} a_{il}b_{lj}$

Contoh Perhitungan: Perkalian Matriks

Misalkan kita memiliki matriks $\boldsymbol{A}$ (2x3) dan $\boldsymbol{B}$ (3x2):

\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Perkalian $\boldsymbol{AB}$:

\begin{align*} (\boldsymbol{AB})_{11} &= 1(0) + 2(1) + 3(0) = 2 \\ (\boldsymbol{AB})_{12} &= 1(2) + 2(-1) + 3(1) = 3 \\ (\boldsymbol{AB})_{21} &= 3(0) + 2(1) + 1(0) = 2 \\ (\boldsymbol{AB})_{22} &= 3(2) + 2(-1) + 1(1) = 5 \end{align*}

Hasilnya:

\boldsymbol{AB} = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}

3. Ruang Vektor & Kebebasan Linear

Sekumpulan vektor $\boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_k$ disebut bebas linear jika tidak ada vektor yang bisa direpresentasikan sebagai kombinasi linear dari vektor lainnya.

Contoh: Kebebasan Linear

Tinjaulah vektor-vektor berikut di $\mathbb{R}^3$:

\boldsymbol{e}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{e}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}

Apakah himpunan $\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{x}\}$ bebas linear? Tidak.
Karena $\boldsymbol{x}$ dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari $\boldsymbol{e}_1$ dan $\boldsymbol{e}_2$: $$ \boldsymbol{x} = 2\boldsymbol{e}_1 + 3\boldsymbol{e}_2 $$ Informasi dalam $\boldsymbol{x}$ "redundan" jika kita sudah punya $\boldsymbol{e}_1$ dan $\boldsymbol{e}_2$.

4. Pemetaan Linear (Linear Mappings)

Matriks merepresentasikan transformasi linear. Jika $\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}$, maka $\boldsymbol{A}$ memetakan vektor dari $\mathbb{R}^n$ ke $\mathbb{R}^m$.

Kembali ke Materi Bab 3: Geometri Analitik